Where Are The Zeros of zeta of s?
G.F.B. Riemann has made a good guess:
"They're all on the critical line", stated he,
"And their density is one over two pi log T."
Where are the zeros of zeta of s? words by Tom Apostol
Книга рассказывает о 8-ой проблеме Гильберта, по совместительству одной из задач тысячелетия - о Гипотезе Римана.
Гипотеза Римана (ГР)
Вне нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную $$\frac{1}{2}$$
Дзета-функция Римана есть сумма бесконечного ряда
\[\zeta(s) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + ...\]
где $$s \in \mathbb{C}$$. Тривиальные нули функции - это $$s = -2, -4, ..., -2n, ...$$
Гипотеза была высказана в работе Бернхарда Римана "О числе простых чисел, не превышающих данной величины" (1859 год). Риман нашел способ выразить функцию $$\pi(N)$$ через нетривиальные нули дзета-функции при условии верности гипотезы. Фактически, название работы Римана можно записать как "О $$\pi(N)$$", и любой математик, работающий в области теории чисел поймет, так как $$\pi(N) = \left| \left\{ p \mid p \leq N, p - prime\ number\right\}\right|$$.
Доказательство гипотезы имеет далеко идущие последствия в теории чисел - сотни теорем начинаются словами "В предположении, что Гипотеза Римана верна...".
В книге описан более чем двухсотлетний путь от работ Гаусса и Эйлера, на чьих плечах стоял Риман, до доказательства ТРПЧ Адамаром и Валле Пуссеном и открытия связи между ГР и квантовой механикой.
Теорема о распределении простых чисел (ТРПЧ)
$$\pi(N) \sim \frac{N}{ln N}$$
Главы с четными номерами содержат весьма популярно и интересно поданные математические объяснения, подводящие в итоге к пониманию ГР. Математические рассуждения затрагивают основы теории чисел, анализа, теории функции комплексной переменной и общей алгебры. Однако, все изложено так, что поймет любой, кто прошел школьный курс математики.
В главах с нечетными номерами раскрывают исторические и географические особенности Европы 19 века - времени, в котором жил Риман, и краткие биографические очерки, занимательные истории из жизни математиков, так или иначе причастных к Гипотезе Римана: Эйлер, Гаусс, Дирихле, собственно Риман, Адамар, Чебышев, Гильберт, Харди, Тьюринг, Пойа и многие другие.
В главах с нечетными номерами раскрывают исторические и географические особенности Европы 19 века - времени, в котором жил Риман, и краткие биографические очерки, занимательные истории из жизни математиков, так или иначе причастных к Гипотезе Римана: Эйлер, Гаусс, Дирихле, собственно Риман, Адамар, Чебышев, Гильберт, Харди, Тьюринг, Пойа и многие другие.
Стоит отметить хорошую типографику и качество переплета книги. Рекомендую всем неравнодушным к математике и вообще научно-популярной литературе.
